高斯定理证明(高斯定理证明静电屏蔽)

高斯定理的证明

不知道你问的是微积分还是物理。高斯定理是高斯推导出来的形式比较简单的数学公式，微积分里直接给的是公式，证明过程涉及三重积分，比较复杂，建议不要在这上过度追求。

物理上静电场高斯定理以库伦定律叠加来证明，但在某些时候库伦定律不能成立时，高斯定理依旧成立。

谁能给出高斯定理的证明 严格

设有一个球面，设其半径为R, 球心为坐标原点。下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi).球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi)。

因为这个球面中不包含电荷，所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理），并根据电场是电势的导数，而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(p V)/(p r)【这里的p代表偏导符号】。

于是得到积分：int (p V)/(p r) dA=0.【这个式子里的int代表对球面积分，dA是球面的面积微元，即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi】。继续将方程两面除以R^2,得到int (p V)/(p r) d_Omega=0.这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi。 注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立，而是对于所有r<R的球面都成立。理由仍是高斯定理。

于是可以把这个方程的左边从r=0积分到r=R.然后调换积分顺序，先对r积分：int (p V)/(p r) dr=V(R,theta,phi)-V(0),再继续对立体角积分：int [V(R,theta,phi)-V(0)] d_Omega=int V((R,theta,phi) d_Omega - 4 pi V(0),【这里用到V(0)与theta和phi无关，而单独的立体角积分出来是4 pi】. 方程的右边当然还是零，于是就有V(0)={int V((R,theta,phi) d_Omega }/(4 pi),这个等式的右边就是电势在半径为R的球面上的平均值。