六大函数的图像和性质(母函数解高考)

六大函数的图像和性质

如下

幂函数的图像和性质：

1.y=x  直线，奇函数，单调递增；

2.y=x平方  抛物线，顶点在原点，开口向上，对称轴坐标单调递减、右边单调递增；

3.y=x立方  立方抛物线，奇函数，单调递增；

4.y=根号x  图像在第一象限（含原点），单调递增；

5.y=x分之一  双曲线，位于第一、三象限，各自单调递减。

六大母函数是指指数函数，对数函数，幂函数，二次函数，一次函数，反比例函数。他们的共同点是：都经过点（1，1）

它们图像的趋势为：一次函数<反比例函数<二次函数<指数函数<对数函数<幂函数。也就是说一次函数图像增长的最慢，幂函数图像增长的最快。

一、正弦函数：
图像：单调递增，呈S型曲线，以原点为中心，绕X轴向右转。
性质：Y=asin(ωx+φ)，a为正弦函数的振幅，ω为正弦函数的角频率，φ为正弦函数的相位差。
二、余弦函数：
图像：单调递增，呈U型曲线，以原点为中心，绕X轴向右转。
性质：Y=acos(ωx+φ)，a为余弦函数的振幅，ω为余弦函数的角频率，φ为余弦函数的相位差。
三、指数函数：
图像：单调递增，呈右斜型曲线。
性质：Y=ae^(bx)，a为指数函数的系数，b为指数函数的指数。
四、对数函数：
图像：以y轴为对称轴，单调递减，呈左斜型曲线。
性质：Y=alog(x/c)+d，a为对数函数的系数， c为对数函数的基数， d为对数函数的常数。
五、反正切函数：
图像：单调递增，呈斜型曲线。
性质：Y=atan(bx)+c，b为反正切函数的系数，c为反正切函数的常数。
六、指数对数函数：
图像：单调递增，呈右斜型曲线。
性质：Y=ag^(blnx)+c，a为指数对数函数的系数，b为指数对数函数的指数，c为指数对数函数的常数。

六大母函数基本知识

1.一次函数：在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k为一次项系数≠0,k≠0,b为常数,),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量.

2.二次函数：在数学中,二次函数最高次必须为二次,二次函数表达式y=ax²+bx+c的定义是一个二次多项式.

3.指数函数：一般地,形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数 

4.对数函数：一般地,如果ax=N（a>0,且a≠1）,那么数x叫做以a为底N的对数，

八大母函数

1幂函数、2指数函数、3对数函数、4三角函数、5反三角函数 6常数函数7经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

指在组合数学中常用的八种母函数形式，它们分别是：

普通母函数（Ordinary Generating Function）：用于计算序列的各项系数。

指数母函数（Exponential Generating Function）：用于计算序列的阶乘形式的各项系数。

拉普拉斯母函数（Laplace Transform Generating Function）：用于计算序列的离散和连续变换形式的各项系数。

齐次母函数（Homogeneous Generating Function）：用于计算序列的齐次递推关系的各项系数。

非齐次母函数（Non-Homogeneous Generating Function）：用于计算序列的非齐次递推关系的各项系数。

指标母函数（Indicator Generating Function）：用于计算序列的指标函数形式的各项系数。

6大母函数

六大母函数分别是线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

线性函数是最简单的函数，形式为y=ax+b。它属于一元一次函数，只有一个自变量，因变量的值和自变量的值之间的关系是线性的。在一元一次函数中，a叫做斜率，b叫做y轴截距，两者有各自的性质和特点。

幂函数是一类二元函数，它们以幂函数的形式来表现，通常可以写成y=axn，其中a和n都是常数，n是幂函数的指数，它们决定了函数的形状。当n>1时，函数图象是一条开口向上的抛物线；当n<0时，函数图象是一条开口向下的抛物线；当n=1时，函数图象是一条直线；当n=0时，函数图象是一条水平的直线。此外，幂函数的斜率与指数n的正负值有关，当n>1- 1 - 时，斜率增加；当n<1时，斜率减小；当n=1时，斜率为常数。

指数函数是一类二元函数，可以写成y=aem，其中a和m都是常数，m是指数函数的指数，它决定了函数的形状及斜率。指数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，m的正负值不影响指数函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。

对数函数也是一类二元函数，可以写成y=alnx，其中a和m都是常数，m是对数函数的底数，它决定了函数的形状及斜率。对数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，底数m的正负值不影响该函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。

三角函数是一种函数，它以三角函数的形式来表现，用符号表示可以为y=sinθ、y=cosθ、y=tanθ、y=cotθ。在三角函数的图像中，x表示角度，而y表示每一个角度对应的三角函数值。

反三角函数也是一种函数，用符号表示可以为y=sin-1θ、y=cos-1θ、y=tan-1θ、y=cot-1θ。它们和三角函数都可以用于解决以弧度为单位的三角- 2 -

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