解析2010江苏数学高考，赢得高分利器！

2010江苏数学高考解析，帮你赢得高分利器！

2010江苏数学高考题型回顾

2010年江苏省高考数学试题总体难易程度适中，注重数学思想、数学方法的贯通和运用，遵循突出基本、注重应用的原则，考查了考生在各个方面的数学能力。

选择题

选择题分为I、II两部分，共18题。其中I部分选择题的难度适中，考查了考生的基本知识和数学推理能力。II部分考查了考生在数学模型和应用中的运用能力，需要考生综合应用各种数学知识和方法，分析问题并解决问题。

填空题

填空题分为III、IV两部分，共5题，考查了考生的计算能力、推理能力、论证能力和应用能力。III部分主要考查了考生的基本知识和运算能力。IV部分要求考生综合应用各项知识，解决具有较强综合性的问题。

解答题

解答题分为V、VI两部分，共7题，考查了考生的思维能力、推理能力、创新能力和综合运用数学知识的能力。V部分考查了考生的分析、计算、解决问题的能力，VI部分则考查了考生综合运用各种数学知识和方法来解决实际问题的能力。

2010江苏数学高考解析

选择题解析

选择题是高考数学试卷中较为基础的部分，但也是考察考生基础掌握情况和推理能力的重要环节。2010年江苏省高考选择题难度适中，涉及内容较为丰富，需要对各种数学知识点有较好的掌握和理解。

1.比值$frac{x^2+1}{x+1}$的值域为

解析：将比值化简，得到$frac{x^2+1}{x+1}=x+frac{1}{x+1}$，其中$x$为实数。显然，$frac{1}{x+1}$的范围为$(0,1]$，因此$x+frac{1}{x+1}$的取值范围为$(1,infty)$。故答案为B。

2.已知等腰三角形的底长为2，三角形的周长大于4，若高为$sqrt{3}$，则这个等腰三角形的面积为

解析：设等腰三角形的等腰边长为$a$，则$a>1$。由等腰三角形的高公式，得到等腰三角形的高为$sqrt{a^2-1}$。根据题意，得到$2+2a>4$，解得$a>1$。将面积公式代入，得到等腰三角形的面积为$S=frac{1}{2}asqrt{a^2-1}$。故答案为D。

3.已知等差数列${a_n}$的前四项和为7，若$a_1+a_2+a_3=8$，则$a_4$等于

解析：根据等差数列的通项公式，得到$a_n=a_1+(n-1)d$。由题意，得到$a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=8$，即$a_1+d=frac{8}{3}$。同时，根据前四项和的公式，得到$S_4=frac{4}{2}(2a_1+3d)=7$，即$a_1+frac{3d}{2}=frac{7}{4}$。联立两个方程解得$a_1=1$，$d=frac{5}{6}$，因此$a_4=a_1+3d=frac{17}{6}$。故答案为D。

填空题解析

填空题是考察考生计算和应用能力的重要环节。2010年江苏省高考填空题较为简单，但也需要考生细心计算和灵活运用各项数学知识。

1. 已知正比例函数$f(x)=kx$的图象经过点$(2,6)$，则$k=$__________。

解析：由正比例函数的定义，得到$f(2)=k imes2=6$，解得$k=3$。因此答案为3。

2.平面直角坐标系上，过点$(2,3)$的直线$ax+by+c=0$，与$x$轴、$y$轴的交点分别为$A$、$B$，则$ riangle OAB$的面积为__________。

解析：由直线$ax+by+c=0$过点$(2,3)$，得到$2a+3b=-c$。又由$A$点在$x$轴上，$B$点在$y$轴上，得到$A(2,-frac{2a}{b})$，$B(-frac{3b}{a},3)$。将$A$、$B$两点代入求面积公式$S=frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$，得到$ riangle OAB$的面积为$frac{3}{2}$。因此答案为$frac{3}{2}$。

3.若$a$是方程$log_2frac{1}{2}x^2=3$的一个实数解，则$a^2=$__________。

解析：将方程化简，得到$x^2=8$，即$x=pm2sqrt{2}$。由对数的定义，得到$2^{-3}=frac{1}{8}$，因此$log_2frac{1}{8}=-3$。代入原方程，得到$log_2frac{1}{2}(2sqrt{2})^2=log_2frac{8}{2}=3$，因此$2sqrt{2}$是原方程的一个实数解。故$a=pm2sqrt{2}$，因此$a^2=8 imes2=16$。因此答案为16。

解答题解析

解答题是考察考生分析、推理和解决问题能力的重要环节。2010年江苏省高考解答题难度适中，需要考生有较好的综合能力和创新思维。

1.已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(ngeq3)$，求$sum_{i=1}^{n}frac{1}{a_ia_{i+1}}$。

解析：由数列定义，得到$a_3=3$，$a_4=5$，$a_5=8$，$a_6=13$。将$frac{1}{a_ia_{i+1}}$分解，得到$frac{1}{a_ia_{i+1}}=frac{1}{a_i}-frac{1}{a_{i+1}}$。因此，$sum_{i=1}^{n}frac{1}{a_ia_{i+1}}=frac{1}{a_1}-frac{1}{a_2}+frac{1}{a_2}-frac{1}{a_3}+frac{1}{a_3}-frac{1}{a_4}+cdots+frac{1}{a_{n-1}}-frac{1}{a_n}=frac{1}{a_1}-frac{1}{a_n}=1-frac{1}{a_n}$。因此，只需要计算$a_n$即可。由$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，得到$a_n$为斐波那契数列的第$n$项，即$a_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n-(frac{1-sqrt{5}}{2})^n]$。因此，$a_{10}=144$，$sum_{i=1}^{10}frac{1}{a_ia_{i+1}}=1-frac{1}{144}=frac{143}{144}$。因此答案为$frac{143}{144}$。

2.已知函数$f(x)=x^3-3x$，$minmathbb{R}$。证明：方程$f(x)=m$在区间$(-infty,-2)$，$(0,2)$，$(2,infty)$上各有一根。

解析：首先，当$x<0$时，$-x>0$。因此，$f(-x)=-x^3+3x=-f(x)$，即$f(x)$是奇函数。又因为$f(-2)=-2<0$，$f(0)=0$，$f(2)=2>0$，因此可以分别在$(-infty,-2)$，$(0,2)$，$(2,infty)$上考虑$f(x)$的单调性和方程$f(x)=m$的解的情况。

当$x<-2$时，$f(x)$单调递减，且$limlimits_{x o-infty}f(x)=-infty$，$limlimits_{x o-2^+}f(x)=infty$，因此$f(x)=m$在$(-infty,-2)$上有一根。

当$0

当$x>2$时，$f(x)$单调递增，且$limlimits_{x o2^+}f(x)=-4$，$limlimits_{x oinfty}f(x)=infty$，因此$f(x)=m$在$(2,infty)$上有一根。

因此，$f(x)=m$在区间$(-infty,-2)$，$(0,2)$，$(2,infty)$上各有一根。证毕。

3.已知函数$f(x)=frac{1}{x^2-4}$，$ninmathbb{N}^*$。若$f^{(n)}(0)=(-1)^nfrac{2(n-1)!}{3^n}$，则求$f(x)$的表达式，并求$f(x)$在$x=2$处的二阶泰勒展开式。

解析：首先，由多项式求导法则，得到$f(x)=-frac{2x}{(x^2-4)^2}$，$f(x)=frac{6x^2-8}{(x^2-4)^3}$，$f(x)=-frac{24x(x^2-3)}{(x^2-4)^4}$，$f^{(4)}(x)=frac{24(3x^4-24x^2+20)}{(x^2-4)^5}$。因此，$f^{(n)}(x)$的分母为$(x^2-4)^{n+1}$。由$f^{(n)}(0)=(-1)^nfrac{2(n-1)!}{3^n}$，得到$f^{(n)}(x)=frac{2n!}{3^n(x^2-4)^{n+1}}(-1)^n$，即$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n2}{3^n}frac{(n-1)!}{(x^2-4)^{n+1}}x^n$。

当$x=2$时，有$f(2)=frac{1}{(2^2-4)}=-frac{1}{2}$，$f(2)=-frac{2 imes2}{(2^2-4)^2}=-frac{1}{4}$，$f(2)=frac{6 imes2^2-8}{(2^2-4)^3}=-frac{3}{16}$。因此，$f(x)$在$x=2$处的二阶泰勒展开式为$f(2)+f(2)(x-2)+frac{f(2)}{2!}(x-2)^2=-frac{1}{2}-frac{1}{4}(x-2)-frac{3}{32}(x-2)^2$。因此答案为$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n2}{3^n}frac{(n-1)!}{(x^2-4)^{n+1}}x^n$，$f(2)+f(2)(x-2)+frac{f(2)}{2!}(x-2)^2=-frac{1}{2}-frac{1}{4}(x-2)-frac{3}{32}(x-2)^2$。